Matematiikan ihmeellinen maailma

[Melodious Oaf]

Se että pojalla on ne töppöset ja vyö meni minulta täysin ohi ja ratkaisee laskujärjestykseen liittyvän ongelman. En tahdo vieläkään sitä vyötä nähdä, mutta se nyt ei ole minulta yllättävää

Tollaseen "järkevien oletusten" sumeaan logiikkaan liittyy aina oma ärsyttävyytensä. Mulla se ehkä kiteytyy ton kuvasarjan kohdalla siihen, että millä perusteella töppösparin töppösten keskinäinen kokoero ei ole relevantti asia tai miten parin ymmärtäminen kertolaskuna olisi yhtään sen vähempää oikein tai väärin.

Silloin siis töppöset voisivat olla eri arvoiset esimerkiksi arvoilla 5 ja 6. Tietysti se ylikomplisoi tota logiikkaa, mutta se ei ole "vähemmän järkevää" mun mielestä missään selkeästi perusteltavassa mielessä.

Tollasen ja epäselvän kuvan takia (mutta ei pelkästään) nousee se fiilis itsellä että toi on vaan laillinen tapa varastaa ihmisiltä rahaa.

[MrKAT]

Matematiikka voi kääntää oikeustapaukset nurinpäin vaikka aluksi näytti selvältä.
    Otetaan korona ja koronatestit. vaikkapa alkuvaiheesta kun ei ollut vielä rokotteita.
Keksitty oikeustapaus: Henkilö tekee kotona pikatestin ja näkee positiivisen juovan että olisi korona. Siitä huolimatta lähtee hurvittelemaan vaikka piti pysyä eristyksissä, koska on hinku. Naapuri saa tietää ja käräyttää henkilön joka saa syytteen käräjille, jossa tapahtuu seuraavaa:

Syyttäjä: "Pikatestit on niin varmoja että 99% positiivisista tuloksista on aidosti positiivisia, vain 1% antaa väärän positiivisen joten voimme 99% varmuudella sanoa että henkilöllä oli koronatartuna."

Puolustusasianajaja on tehnyt laskelmia ja räväyttää valkokankaalle oletukset, laskelman ja taulukon:
Pikatestin herkkyys on 77% joten 23% antaa väärän negatiivisen (potilaalla on tartunta mutta testi sanoo ei).
Pikatesti  1%:ssa tapauksista antaa väärän positiivisen (potilaalle ei ole tartuntaa mutta testi sanoo kyllä).
  (Lähde: https://en.wikipedia.org/wiki/COVID-19_rapid_antigen_test )
Mutta Bayesiläisessä hengessä todennäköisyyksiä pitäisi tarkastella ympäröivän tilanteen näkökulmasta.
Tarkastellaan miljoonaa ihmistä jotka tekisi pikatestin. Jos ilmaantuvuus on vain 0,01% eli vain 100:lla on korona niin pikatesti heillä antaa 77 positiivista mutta samaan aikaan 999 900 terveellä 1% eli 9999 antaa myös positiivisen tuloksen.  Pikatestissä positiivisen saaneella on oikeasti korona todennäköisyydellä 77/(77+9999) = 0,76% !

Saadaan taulukko:

                 Ilmaantuvuus  miljoonassa    Pikatesti +     Pikatesti - 
Koronassa         0,01%           100                77                 23
Terveenä                           999 900          9 999           989 901
Todennäköisyys pikatestin+=aito korona:     0,76%

Koronassa         0,1%            1000              770                230
Terveenä                           999 000          9 990           989 010
Todennäköisyys pikatestin+=aito korona:     7,2%
 
Koronassa         1%             10 000           7 700              2 300
Terveenä                           990 000           9 900           980 100
Todennäköisyys pikatestin+=aito korona:     43,8%

Koronassa        10%           100 000          77 000            23 000
Terveenä                           900 000            9 000           891 000
Todennäköisyys pikatestin+=aito korona:     89,5%

Koronassa        50%          500 000         385 000           115 000
Terveenä                           500 000            5 000           450 000
Todennäköisyys pikatestin+=aito korona:     98,7%

Koska kyseisellä alueella (kunnalla/piirikunnalla/territoriolla) ilmaantuvuus oli kyseisellä hetkellä 0,1% niin syytetyllä oli vain 7,2% todennäköisyydellä tartunta eli 93% todennäköisyydellä syytetyllä ei ollut koronatartuntaa.

Jury ja tuomari tulevat samaan johtopäätökseen ja tuomari  kopauttaa nuijalla vapauttavan päätöksen.

JK. Yllä tilanne oli "teoreettinen, steriili", vapaa muista ympäristötekijöistä, jotka kuitenkin olisi huomioitava. Esimerkiksi  jos läheisillä on korona tai päiviä aiemmin ollut väentilaisuudessa tai syytetyllä on jo oireita niin  todennäköisyys on jo huomattavasti suurempi. Tätä on kuitenkin jo vaikeampi matematisoida ja/tai tarvii hyvät koetellut tilastot jos pyrkii arvioimaan sitä lukuna.

[MrKAT]

Em. laskelmaa tehdessä törmäsin tähän hämmästyttävään  tapaukseen +väitteeseen: HS:n toimittaja Lehtinen oli saanut kotona pikatestillä + tuloksen mutta sitten PCR-testi antoi - ja hän tulkitsi/tuomittiin: Ei koronaa.
MUTTA alla infektiolääkäri Holmberg väittää että HS erehtyy: kotitesti on uskottavampi (!), koska PCR-testin herkkyys on vain 90%. joten Lehtisellä on/oli koronatartunta!

Infektiolääkäri oikoo tulkintavirhettä: Ei negatiivinen vaan positiivinen
...
– PCR-testin herkkyys on noin 90 prosenttia, mikä tarkoittaa että 10 prosenttia akuutin koronainfektion sairastavista saa negatiivisen PCR-tuloksen. Kotitestien väärien positiivisten osuus on huomattavasti tätä pienempi, Holmberg toteaa Twitterissä.
- Verkkouutiset 13.1.2022

Positiivinen testitulos ei ollutkaan lottovoitto
Tekemäni kotitesti näytti positiivista, mutta tulos osoittautui virheelliseksi. Lopulta se harmitti enemmän kuin helpotti.
- HS 13.1.2022 (maksumuuri, en näe):  https://www.hs.fi/mielipide/art-2000008531869.html

Em. taulukkolaskelmani osoittaa kuitenkin että kotitestin tulkinta riippuu vahvasti tautiympäristöstä (ilmaantuvuudesta ym). Joten infektiolääkäri saattoi sittenkin erehtyä ja HS:n Lehtinen olla oikeassa.

[Jaska]

Minun nähdäkseni kotitesteillä ei ole mitään virallista asemaa. Niiden perusteella ihmiset saavat muodostaa käsityksen heitä askarruttavasta asiasta, mutta tuskin kotitestin tuloksen mukaiseen käytökseen on velvoitetta eikä negatiivinen tulos ole lupa vastuuttomaan käytökseen. Ei ihmisiä voi velvoittaa tekemään kotitestiä sen kaipaamalla huolellisuudella ja tarkkuudella.

Tuttavapiirissä on sen suuntaisia havaintoja, että kotitesti on niin koronan alkamisen kuin loppumisen osoittamisen suhteen hitaanpuoleinen: "kokeile parin päivän päästä iidelleen", jos tulos ei ollut odotetunlainen.

MrKATin todennäköisyysajatuksenkulkuja en jaksanut läpijuosta. Testin suorittamiseen on tavalliseti aihe - esimerkiksi flunssatyylisiä oireita tai arvelu altistumisesta - eikä se ole satunnaisesti suoritettu mittaus.

[MrKAT]

Minä olen pitänyt kotitestiä varsin luotettavana jos se näyttää positiivista eli T-juovaa. Muuten epäluotettava aina ollut jos näyttää negatiivista, jo siksikin koska monenlaista tumpeloijaa näytteenottajaa löytyy maallikoista.
  Lisäsin taulukon alle punaisella päivitystä että monet seikat vaikuttaa todennäköisyyteen, esim. just ne oireet. Taulukossa henkilö oli oireeton.

[Jaska]

Muistaakseni tähän harvinaisen ilmiön ilmaantuvuuden arvioinnin problematiikkaan törmättiin kun satunnaistetuilla kokeilla pyrittiin selvittämään  kuinka paljon varmistamattomia koronatartuntoja on sairastettu. Kun vääriä positiivisia on tutkimuksessa enemmän kuin oikeita positiivisia niin arvion tekeminen vaikeutuu. Mitkä tekijät vääriin tuloksiin vaikuttanevatkaan.

Näin arvelin, että jos on lääkäriltä saanut karanteenimääräyksen, niin sen rikkomisesta voi saada sakkoja, mutta tuskin saa sakkoja, jos kotitestin positiivisen tuloksen perusteella ei aseta itseään karranteeniin, vaan vaikka omasta mielestään aika hyväkuntoisena lähtee konserttiin, johon oli jo aikaisemmin hankkinut liput ja todetaan sitten tartuttaneen muita.

[Hayabusa]

Muistakaa oikeaoppinen testaustapa.

[MrKAT]

TOMOGRAFIAA  POPULARISOIDEN:

Jo joskus aiemmin olin miettinyt tomografia-ongelmaa, mutta Samuli Siltasen kirja (Astu matematiikan maailmaan) sytytti miettimään sen popularisointia, koska mitään kuvia kirjassa ei ollut. Tässä koitin simppelisti:


(Tässä on otettu vain 4 suunnasta läpivalaisu, oikeasssa maailmassa suuntia on lukuisia ja luvut eivät ole kokonaislukuja vaan pikemmin desimaaleja ja kuvaa muodostetaan kaksoisintegraalilla, muistaakseni).

TOMOGRAFIAA AJANVIETEPELINÄ ELI PULMATEHTÄVÄNÄ:
Sitten hoksasin että jos pallukoissa käytetään vain kokonaislukuja 0,1,2,3,4 niin niistä saa "sudokumaisen"* pulmatehtävän kun pitää keksiä tyhjiin pallukoihin numerot jotta miten niillä saa reunasummat oikein:


(Tehtävää helpotettu esitäyttämällä 2 pallukkaa).

*Siitä nimi TOMOGU jolla sama loppusointu. TOMO ja TOMOG oli jo Japanissa käytössä mm. yrityksen nimenä tms.

[MrKAT]

TIETOKONEELLA YRITIN RATKAISTA SEN.

Tuossa on 12 tuntematonta ja reunoissa 12 lukua eli niistä saadaan 12 yhtälöä jossa on 12 tuntematona.
   Kaikki ok. Yksikäsitteinen ratkaisu olemassa. Näin luulin.

No minäpä laitan EXCELiin, koitan käänteismatriisiratkaisua ja mitä saan? Joka ruutu täyteen virheilmoituksia. Ihmettelen ja sitten kokeilen ottaa determinantin. Se nolla. NOLLA! Siis ei ratkaisua?!? Mitä hemmettiä?!

Palaan piirustuspöydälle ja aloitan äärisimppelistä neliöstä jossa 4 ratkaisematonta pallukkaa (a,b,c,d on annettuja reunasummia): 
   
   O  O  a
   O  O  b 
     c     d
Toisessa muodossa:
   
   A  B  | a
   C  D  | b 
    --------
     c     d
Siitä saadaan yhtälöryhmä 
   A+B=a,
   C+D=b,
   A+C=c,
   B+D=d
joka matriisina voidaan kirjoittaa:
" A  B  C  D "
[ 1  1  0  0 ] [A ]   | a  |
| 0  0  1  1 | |B | =| b  |
| 1  0  1  0 | |C |   | c  |
[ 0  1  0  1 ] [D ]   | d  |
Tuonkin matriisin determinantti on nolla, ei ratkaisua, huomaan EXCELissä. Mitä ihmettä?
Sitten tajuan. Ratkaisuja onkin ääretön( oo ) määrä. Esim.
  1  2  | 3
  3  4  | 7
  ------
  4   6
mutta myös esim ..
  0  3 |  3
  4  3 |  7
-------
  4  6
..antaa samat reunasummat!  Yhtälöryhmät yhtälöt ei ole riippumattomia! Kun tiedät 4 ja 6 ja 7 niin tiedät että ylin reunasumma on silloin oltava 3, koska  4+6= 10 =7+3.   

Yksi ratkaisu on lisätä vino reunasumma g:
g
   \
   A  B  | a
   C  D  | b 
    --------
     c     d
joka kiinnittää ratkaisun yksikäsitteiseksi ja sen matriisi myös ratkaisee yhtälön EXCELissä kun jättää A+B=a pois ja korvaa sen g=A+D:llä.

[MrKAT]

Niinpä siellä alemmassa grafiikka-kuvassa, jossa on annettu 0 ja 4 valmiiksi, löysin käsin 2 oikeaa vastausta. Ainakin. En tiedä onko enemmänkin ratkaisuja niissä puitteissa että kaikki ovat väliltä [0...4].

[MrKAT]

Sain idean, että alemmssa 12X-tuntemattomassa ("TOMOGU-12X") jne voidaan tutkia helpoimmin jos reunasummat on kaikki oltava nollia kuten tässä:
     0 0
  0 0 0 0 
  0 0 0 0
     0 0
.. mutta pallukat solut saa olla 0:n lisäksi positiivisia tai negatiivisia  ..-3,-2,-1,0,1,2,3...: Tälloin myös
      -1  1
   1  0  0 -1
  -1  0  0  1
       1 -1
antaa kaikissa suunnissa summiksi NOLLAT! Diofantoksen yhtälöiden tapaan yleisiä ratkaisuja on siis näiden monikerran tapaan ääretön määrä. Ellei sitten tehtävänanto itse rajoita kuten kuvioissa joissa vaadittiin lukualueeksi [0...+4].

[MrKAT]

Tässä on 21 tuntemattoman tehtävä TOMOGU-21X, jossa osalle on avustettu esitäyttämällä neljä valmiiksi:

[MrKAT]

Jo nyt on selvää että popularisointi meni päin mäntyä. Paitsi sen tässä oppi, että tuli osoitettua että 4 suuntaa ei riitä, pitää olla monesta suunnasta valotusta aivan kuten röntgen-tomografiassa otetaan monesta monesta sunnasta.
Ja seuraavassa osoittautuu, että 1-käsitteinen "sudoku" on vaikea saavuttaa.

TOMOGU-21X:ssä tarkastellaan tapausta että reunasummat on oltava nollia kaikissa pysty (|), vaaka (-) ja vinosuunnissa (/ \):
    0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
    0 0 0

Mutta myös esim. nämä antaa reunasummiksi nollat:

n)                    a)                     b)                       c)                    d)
   -1  0  1               1 -2  1             0   1  -1               1 -1  0              0   0   0
1  0  0  0  1      -1  0  2  0 -1     0 -2   0   1   1     -1 -2  2  1  0      0 -3   4  -1   0
0  0  0  0  0       2 -2  0 -2  2     1  2   0  -1  -2      3  0  0 -3  0      3 -1   0  -3   1
-1  0  0  0 -1     -1  0  2  0 -1    -1 -1  -1   2   1     -2 -1  1  2  0     -3  1   0   3  -1 
     1  0 -1              1 -2  1              1   0  1                2 -2  0             3  -4   1


p)                           s)                        r)                         jne.
        0  -1   1                 0   0   0                0  -1   1
   0   0   1   0  -1       0  -1   0   1   0       0   0  -1   2  -1 
   1  -1   0  -1   1       1   1   0  -1  -1       1   1   0  -1  -1
  -1   0   1   0   0      -1  -1   0   1   1      -1  -2   1   0   2
        1  -1   0                 1   0  -1                 1   1  -2

Täten näiden lisääminen tai vähentäminen "oikeasta ratkaisusta" antaa saman tuloksen (reunasummat) ja jos solujen arvo pysyy [0..+4] välillä niin ne on annetun tehtävän oikeita ratkaisuja myös. Ainoastaan keskussolu
on aina nolla. (Syystä jota en osaa todistaa mutta se näyttää olevan mahdotonta muuttaa). Joten  keskussolu
on annetuilla reunasummilla 1-käsitteinen.

[MrKAT]

^ Nuo "värähtelymuodot" tuo mieleen levyjen värähtelyn äänissä, seisovan aaltoliikkeen.

[MrKAT]

Opettajainkoulutuslaitos elää omaa elämäänsa ja voi sitä oppilasta joka niiden omiin kamariteorioihin ei sopeudu...

US:ssä (alleviivaus by MrKAT):

8*4 = 4*8
Marika Toivola
5.11.2022 9:34
Toisen luokan matematiikan kokeessa on kysymys: "Kahdeksan sämpylän pusseja on 4. Kuinka monta sämpylää on yhteensä?" Lapsi on vastannut 8*4 = 32. Opettaja on merkannut vastauksen vääräksi, antanut puolet pisteistä ja korjannut vastauksen muotoon 4*8 = 32. Mitä tapahtuu, kun lapsi tulee kotiin? Vanhemmat ovat ihmeissään, yhtyvät lapsen suruun ja tuntevat nahoissaan, kuinka omaa lasta on kaltoin kohdeltu opettajan toimesta. Tämä ei ole yksittäistapaus, vaan tapaus, joka nousee toistuvasti esille ja saa aikaan someraivon. Olen useampana vuotena osallistunut tähän keskusteluun ja yrittänyt ymmärtää, miksi osa alakoulun opettajista toimii näin. Eihän opettaja näin toimisi, jollei uskoisi toimivansa oikein.

Vauva-lehden palstoilla vuonna 2013 käytyyn keskusteluun osallistui yksi opettajaopiskelija, joka totesi, että asia oli juuri otettu esille opettajankoulutuksessa. Siellä painotettiin, että tulo = kertoja * kerrottava ja vaadittiin, että tulevat opettajat osaavat laittaa tulon tekijät laskuihin oikein päin. Heidän tuli ymmärtää kertojan ja kerrottavan ero. Tässä meillä on hyvä esimerkki siitä, kuinka pedagogiset toimet ajavat opetettavan aineen luonteen ymmärryksen ohi. Matematiikka ei tunne sellaisia käsitteitä kuin kertoja ja kerrottava. Tulo muodostuu tekijöistä ja tekijöiden järjestys on keskenään vaihdannainen. Kertolaskussa 4*8 on kaksi tekijää ja kertolaskussa 4*8*6 tekijöitä on kolme. Jälkimmäinen kertolasku voidaan vaihdantalakia soveltamalla ilmaista kuudella eri tavalla. Jos opettaja olisi halunnut kokeessa mitata ymmärrystä kertojan ja kerrottavan erosta, olisi kysymys pitänyt muotoilla toisin. Ylhäällä esitetty kysymys ei tämän mittaamiseen sovellu ja se on arvioitava matematiikan laskulakien mukaisesti.

Tällä viikolla Twitterin puolella keskusteluun osallistuu myös entinen opettajankouluttaja, joka korostaa kokeessa vallitsevan kontekstin merkitystä ja toteaa, ettei kysisen kokeen perusteella pystytä sanomaan, onko opettaja toiminut oikein vai ei. Hän painottaa, että kokeessa on tarkoitus testata, onko sitä ennen opiskeltu asia ymmärretty. Koska emme voi tietää, mitä tunneilla on tehty, emme voi hänen mielestään ottaa kantaa myöskään koetehtävän arvosteluun. Näinhän ei suinkaan ole. Ei kokeella ole tarkoitus mitata sitä, osaako oppilas asian siten MITEN on opetettu, vaan osaako oppilas opetussuunnitelmassa mainitut asiat. Ylipäätään on virhe kuvitella, että oppiminen olisi aina seurausta opetuksesta. Oppimisen ja opettamisen suhde on hyvin monimutkainen.

Matematiikan opetukseen on pesiytynyt kummallinen ajatustapa siitä, että matematiikkaa tulisi ajatella vain yhdellä tavalla – siten miten opettaja ajattelee. Opetussuunnitelmamme kuitenkin korostaa oppimisen vapautta ja oppilaan oman ajattelun aktiivisuutta. Sanatarkasti siellä sanotaan matematiikan opettamisesta seuraavasti: "Oppilasta kannustetaan ilmaisemaan omaa matemaattista ajatteluaan monipuolisesti." Perusopetuslaki puolestaan sanoo arvioinnista seuraavasti: "Oppilaan arvioinnilla pyritään ohjaamaan ja kannustamaan opiskelua sekä kehittämään oppilaan edellytyksiä itsearviointiin." Kyseinen koe on arvosteluineen ilmentymä arvioinnista, joka on sekä perusopetuslain että opetussuunnitelman vastainen. Tätäkin tärkeämpää on mielestäni pysähtyä miettimään, mitä opettajan toiminta saa aikaan oppilaassa. Edesauttaako opettaja toiminnallaan sitä, kuinka matematiikka muuttuu kouluvuosien aikana oppilaiden lempiaiheesta inhokiksi ja kuinka oppilaat eivät koe sitä peruskoulun päätyttyä omakseen?

Kun oppilaan omaa matemaattista ajattelua ei arvosteta, hän ei näe maailmaa matemaattisena. Matematiikasta tulee jotakin, joka on omasta elämästä irrallista ja vain matematiikan luokassa esiintyvää. Tämän me nimesimme toissa vuonna Teknologiateollisuuden 100-vuotissäätiön koulupolkutyöryhmässä yhdeksi isoimmaksi matematiikan opettamisen ongelmaksi. Ongelman koimme niin isoksi, että opettajille päädyttiin tarjoamaan vuonna 2021 tukea seuraavassa muodossa: kun he suorittivat Joustavan matematiikan opintokokonaisuuden, he saivat palkkioksi 1000 €.  Opetushallitus on sitoutunut rahoittaman kyseistä koulutusta vuoden 2023 loppuun asti ja Teknologiateollisuuden 100-vuotissäätiö on sitoutunut maksamaan vielä tämän vuoden ajan 500 € jokaiselle opettajalle, joka koulutuksen suorittaa.

Loppuun on syytä todeta, että kertolaskun vaihdannaisuus kuuluu opetussuunnitelman mukaan toisen luokan matematiikan oppisisältöihin.


Marika on vuoden 2019 matemaattisten aineiden opettaja -kunniamaininnan saanut neljän kouluikäisen lapsen äiti, joka tekee väitöstutkimusta opettajan toimijuudesta käänteisessä oppimisessa (http://www.flippedlearning.fi). Hänen intohimonaan on niin oppilaiden kuin opettajien tasapäistämisen lopettaminen
- https://puheenvuoro.uusisuomi.fi/mrstoivola/84-48/