Uutiset:

Ilmoitustaulu mahdollisten ongelmien varalta (wikimedia.org / Etherpad)

Sähköpostia ylläpidolle: kantapaikanherra (at) gmail.com

Main Menu

Matematiikan ihmeellinen maailma

Aloittaja Edward, elokuu 11, 2019, 08:23:48

« edellinen - seuraava »

0 Jäsenet ja 1 Vieras katselee tätä aihetta.

Karikko

Lainaus käyttäjältä: safiiri - elokuu 27, 2019, 17:06:30

Kyllä. Mutta fysikaalinen todellisuus ei tarvitse olemassaoloonsa käsitteitä. Ne ovat tarpeen vain, kun ihminen yrittää todellisuutta ajatella ja kuvata. Itse todellisuus pörrää ilmankin. Jos nyt sattuu uskomaan, että on olemassa jokin todellisuus oman pääkopan ulkopuolella.

Luin vain tämän viimeisen lauseen, sori en viitsinyt muuta.

Eikö se olekin tasan niin, että ymmärrät asioita vain oman pääkoppasi sisällä,, ja sisällöllä.

Hamiltonin funktioita en kyllä tarjoilekaan sinulle.

Hiha

Lainaus käyttäjältä: safiiri - elokuu 27, 2019, 17:06:30
Matematiikan pohjalla ovat kuitenkin aksioomat, eivät luonnonvakiot.

Käytännössä aksioomat on valittu kuitenkin yleensä siten, että niitä voi käyttää hyödyllisellä tavalla kuvaamaan tuntemamme maailmankaikkeuden käyttäytymistä. Joku viittasi aiemmin yhteenlaskuun, että samoilla säännöillä voi laskea yhteen mitä tahansa kappaleita. Vaikka puhuttaisiin ryhmän binäärioperaatiosta, olisi liioittelua sanoa että matemaatikkojen tutkimat asiat täysin puhtaasta sattumasta ovat käyttökelpoisia ja saattavat poikia sovelluksia.

Aasilaulu

Lainaus käyttäjältä: Karikko - elokuu 28, 2019, 11:45:51
Hienoa, mutta melko aasimaista haukkumista.

Aasihan hirnuu ja potkii :D Mutta kiitos!

Karikko

Lainaus käyttäjältä: Aasilaulu - elokuu 28, 2019, 13:28:41
Lainaus käyttäjältä: Karikko - elokuu 28, 2019, 11:45:51
Hienoa, mutta melko aasimaista haukkumista.

Aasihan hirnuu ja potkii :D Mutta kiitos!

Eipä mittään, otin vapaudekseni lainata avatteresta. Muutenhan tämä keskustelu olisi pelkästään tylsien veitsien heittelyä.

Toisaalta on tullut jo monesti matkan varrella kerrottua nuo haastamasi asiat, tässäkin ketjussa.

safiiri

Lainaus käyttäjältä: Karikko - elokuu 28, 2019, 11:49:12
Lainaus käyttäjältä: safiiri - elokuu 27, 2019, 17:06:30

Kyllä. Mutta fysikaalinen todellisuus ei tarvitse olemassaoloonsa käsitteitä. Ne ovat tarpeen vain, kun ihminen yrittää todellisuutta ajatella ja kuvata. Itse todellisuus pörrää ilmankin. Jos nyt sattuu uskomaan, että on olemassa jokin todellisuus oman pääkopan ulkopuolella.

Luin vain tämän viimeisen lauseen, sori en viitsinyt muuta.

Eikö se olekin tasan niin, että ymmärrät asioita vain oman pääkoppasi sisällä,, ja sisällöllä.

Hamiltonin funktioita en kyllä tarjoilekaan sinulle.

Kyllä. Mutta asiat eivät lakkaa olemasta vain siksi, etten niitä ajattele.

Jaska

Kolmen kuution summa

Niin sanottu kolmen kuution summa on yhtälö, joka pyrkii esittämään jonkin kokonaisluvun k kolmen muun kokonaisluvun x, y, z kuutioiden eli kolmansien potenssien summana.

Yksinkertaisin tapaus on

1*1*1 + 1*1*1 + 1*1*1 = 3

Käytän tässä merkintää 1^3 + 1^3 + 1^3 = 3. Toinen yksinkertainen kolmen kuution summa  4^³ + 4^³ + (-5)^³ = 4^³ + 4^³ - 5^³  = 64 + 64 - 125 = 3. Vuonna 1953 esitettiin kysymys onko luvulle k = 3 muita ratkaisuja. Ongelmaa on siitä saakka pyritty ratkaisemaan tietokoneiden avulla ja nyt on löydetty kolmas ratkaisu.

569936821221962380720^³ + (–569936821113563493509)^³ + (–472715493453327032)^³ = 3

Niille kokonaisluvuille, joiden jakojäännös yhdeksällä on 4 tai 5, kolmen kuution ratkaisuja ei ole olemassa ainoatakaan. Kaikille muille kokonaisluvuille ratkaisuja oletetaan löytyvän äärettömän paljon, joskin hyvin harvassa ja työläästi löydettävissä.

Jaska

1³ + 2³ + 3³ + ... + n³  = (1 + 2 + 3 + ... + n)²

Tässä matematiikan ruostuneiden taitojen harjaamiseksi ("lukiotasoinen") tehtävä todistaa, että

n ensimmäisen positiivisen kokonaisluvun summan neliö on samojen lukujen kuutioiden summa.

Pienimmillä luvuilla tämä on helppo havaita laskemalla:
         

kuutiosummasumman neliö
11x1x1 = 1(1)x(1)
21^3+2^3 = 9(1+2)^2
31^3+2^3+3^3 = 36(1+2+3)^2
41^3+2^3+3^3+4^3 = 100(1+2+3+4)^2
1^3+2^3+3^3+4^3+5^2= 225 (1+2+3+4+5)^2
Mutta päteekö tämä kaikille nollaa suuremmille kokonaisluvuille n. Miten osoitat sen?

Jaska

#97
^

Ensimmäisenä mieleen palautuu tehtävästä aritmeettisen sarjan summa Sn = (1 + 2 + 3 + ... + n), joka on n kertaa ensimmäisen ja viimeisen yhteenlaskettavan keskiarvo n * (1 + n) / 2. Se toiseen potenssiin Sn^2 on n^2 * (n+1)^2 / 4
Merkitään vielä vasenta puolta An = (1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3)

Induktiolla osoittaminen näyttää ilmeisen mahdolliselle, vaikka en itsekään ole vielä tehnyt. Siis että kun

Ak = Sk^2
niin osoitetaan positiivisille kokonaisluvuille k että myös Ak+1 = Sk+1^2 
eli Ak+1  = Ak + (k+1)^3 = ((k+1)^2 * (k+2)^2 / 4)^2 = ((k^2 * (k+1)^2 / 4 + (k+1))^2 = (Sk + (k+1))^2 = Sk+1^2

Pienimmille arvoille k = 1,2,3,4,5 päteminen todettiin jo tehtävänannossa.

MrKAT

^Just noin viikko sitten piti kehittää kaava simppelille sarjalle ja makasin sängyssä lyijykynän ja paperin kanssa enkä kehdannut noutaa taulukkokirjaa tai avata läppäriä niin raavin ruosteisesti  kaavan kasaan induktiolla (ja osin vaistolla): Sn= 1+b+b2+b3... +bn = (1-bn+1)/(1-b)

Tuuletusongelmia miettiessä simplifikoin ongelman yhä simppelimmäksi ja jo tämä ongelma laittaa sormen suuhun:

A. Minulla on pyörivässä telineessä kaksi kuulaa. T=+100 °C alkutilanteessa. Jäähtyvät 1 asteen/minuutti. Minuutin välein pyöritän telinettä kuin rulettia niin että otan jäähtyneen kuulan pois, mittaan sen lämpötilan ja laitan tuoreen +100 °C kuulan tilalle. Mikä on pois ottamieni kuulien lämpötilan keskiarvo?
 
Tyypillisesti telineessä minuutin päästä laitosta lämpötilat ovat +98 ja +99 °C. Mutta jos toinen ei ole sattunut poistoreiän kohdalle pitkään aikaan niin toisen lämpötila voi olla +97,+96... jopa +90 tai vaikka +50 °C jos astronomisen epätodennäköinen mäihä. Toinen on aina +99 °C, koska se on juuri vaihdettu ja minuutin jäähtynyt.
Tässäkin analyyttinen ratkaisu lienee  matem sarja, jossa termi lähestyy äärettömästi 0 ja saadaan keskiarvo ulos.
(Kuulat ei vaikuta toisiinsa, eriste välissä, ilmavirta ylöspäin, jäähtyminen olet. tässä lineaariseksi kohti nollaa).
Missä perussuomalainen törttöilemässä, siellä Jokisipilä puolustelemassa.
                    - Vanha turkulainen sananlasku (by Antti Gronow)

MrKAT

(Tätä mietin ja testasin EXCELillä ennen tuota A-ongelmaa).

B. Kymmenen kuulaa telineessä. Aluksi +100 °C.  Jos edettäisiin satunnaisen sijasta järjestelmällisesti että otetaan aina seuraava vierekkäinen niin telineessä kuulat ovat: +99,98,97...,90 °C ja keskiarvo = +94,5 °C.

Mutta satunnaisesti pyöritellen A-tapauksen tyyliin kuumia kuulia tilalle vaihtaen saadaan tyypillisesti:

3 testiajoa jossa kuulat tähän järjestetty kuumimmasta jäähtyneimpään:
1   99   99   99
2   98   98   98
3   97   97   97
4   94   95   95
5   93   94   93
6   91   93   92
7   89   91   89
8   84   90   87
9   78   88   81
10   69   86   66
-----------------------
ka   89,2   93,1   89,7

Tuhansia testiajosyklejä ->keskiarvo n. +90,8  °C.
Missä perussuomalainen törttöilemässä, siellä Jokisipilä puolustelemassa.
                    - Vanha turkulainen sananlasku (by Antti Gronow)

MrKAT

Lainaus käyttäjältä: MrKAT - syyskuu 18, 2021, 02:22:29
A. Minulla on pyörivässä telineessä kaksi kuulaa. T=+100 °C alkutilanteessa. Jäähtyvät 1 asteen/minuutti. Minuutin välein pyöritän telinettä kuin rulettia niin että otan jäähtyneen kuulan pois, mittaan sen lämpötilan ja laitan tuoreen +100 °C kuulan tilalle. Mikä on pois ottamieni kuulien lämpötilan keskiarvo?
 
Tyypillisesti telineessä minuutin päästä laitosta lämpötilat ovat +98 ja +99 °C. Mutta jos toinen ei ole sattunut poistoreiän kohdalle pitkään aikaan niin toisen lämpötila voi olla +97,+96... jopa +90 tai vaikka +50 °C jos astronomisen epätodennäköinen mäihä. Toinen on aina +99 °C, koska se on juuri vaihdettu ja minuutin jäähtynyt.
Tässäkin analyyttinen ratkaisu lienee  matem sarja, jossa termi lähestyy äärettömästi 0 ja saadaan keskiarvo ulos.
(Kuulat ei vaikuta toisiinsa, eriste välissä, ilmavirta ylöspäin, jäähtyminen olet. tässä lineaariseksi kohti nollaa).
Minuutin päästä vaihdosta tilanne on tämä: Toinen on +99 ja toinen joku seuraavista +98,+97,+96...
Jälkimmäisen tn.keskiarvon laskin sarjalla jossa osoittajissa on erot 100:sta ja alla nimittäjinä on todennäköisyydet:
            2    3     4     5
d = 1 + - + -  + -  +  - ...    = (päättelin laskemalla)  = 4
            2    22    23    24

Toisen erohan oli aina 1 = (100-99). Siten
ka = 100 - (d+1)/2 = +98 C.    EXCEL-simulaatio vahvisti tämän.

Extrana. Mielenkiintoisia sarjoja löytyi:
Jos merkitään S2=d jossa nimittäjinä 2:n potenssit niin vastaavasti
              n+1
S3=1+... ----  ...   =(päättelin laskemalla, kun n->oo )=2.25
               3n
ja
S4 = 1.7777777...
S5 = 1.5625
Hoksasin sitten desimaaleista että S3=9/4,  S4=16/9,  S5=25/16 josta arvaan että
Sm = m2 / (m-1)2  ja S2=22/1 = 4 kuten pitikin.
Missä perussuomalainen törttöilemässä, siellä Jokisipilä puolustelemassa.
                    - Vanha turkulainen sananlasku (by Antti Gronow)

MrKAT

Entäs jos on kolme kuulaa jäähtymässä ja vaihdettavana A-kohdan tapaan. Mikä keskilämpötila?
Tässä sovelsin em. S3 kaavaa ja sain ka= +97 C tasan.
Valitettavasti EXCEL simulaatiot ei tue. Niiden mukaan
ka (3 kuulaa) = n. +97,2 C ja

ka (4 kuulaa) = n. +96,4 C.
Missä perussuomalainen törttöilemässä, siellä Jokisipilä puolustelemassa.
                    - Vanha turkulainen sananlasku (by Antti Gronow)

MrKAT

Edellä oli lineaarisia tapauksia.
Mutta minun tähtäimeni on tämä: Kuulien tilalla on ilmakuutioita huoneessa jossa ilma sekoittuu satunnaisesti. Uusia "kuulia" eli kuutioita on joko seinänraosta tihkuva Radon-pitoinen ilma (100 Bq/m3) tai sairaan päästämä koronavirus-pitoinen ilma(100k / m3).
Ja molemmissa tapauksissa ne vähenevät ei-lineaarisesti, exponentiaalisesti. (Vaikkakin lyhyellä aikavälillä voidaan mallintaa lineaarisesti). Radon puolittuu 3.8 päivässä eli n. 5000 minuutissa ja koronavirukset saattaa hajota/tippua puoleen vaikkapa jotain 100 minuutissa.

Sarjakehitelmässä termeissä olisi kait e-kn ja se menee aika vaikeaksi, helpompi simuloida.


Missä perussuomalainen törttöilemässä, siellä Jokisipilä puolustelemassa.
                    - Vanha turkulainen sananlasku (by Antti Gronow)

MrKAT

Ilmeisesti vaikea kompatehtävä koska kaikki arvaukseni meni pieleen. (Tiedän virallisen oikean vastauksen).
Missä perussuomalainen törttöilemässä, siellä Jokisipilä puolustelemassa.
                    - Vanha turkulainen sananlasku (by Antti Gronow)

Hippi

Minä sain siihen kaksi vastausta, koska ensimmäisen rivin töppöset voi olla kummassakin järjestyksessä. Tulkitsen, että ensimmäisellä rivillä summataan kertolaskujen tuloksia. Ja nyt tätä kirjoittaessa tajusin, että vastauksia voi olla vielä kaksi lisääkin, jos omaratkaisuni on oikein :D

Eli vastaus on joko 62 tai 75
If you see your glass as half empty, pour it in a smaller glass and stop complaining. ❤️