Olen kuullut väitteen että matemaatikot retkahtavat helposti platonistiseen ajatteluun. Maailma alkaa näyttäytyä kaavojen pyörittelijöille kaavojen maailmalta, ontologisesti jopa ikuisten ideoiden maailmalta. Tai jotain sen suuntaista.
Minusta on hyödyllistä ajatella tätä erikoistumisen sivutuotteena. Silloin ei oikeastaan tarvitse ottaa kantaa siihen, mitä henkilö "pohjimmiltaan uskoo" tai onko hän esimerkiksi platonisti vai ei.
Matematiikassa tämä pätee mm. lukujen ja lukumäärien suhteeseen. Eräässä mielessä numeroiden, kuten vaikka luvun 3, taustalla on konkreettinen lukumäärä. Kolme lehmää tai kolme pistettä. Kun ihminen tottuu käsittelemään lukuja symboleina ja hahmottaa riittävän laajasti niiden välisiä suhteita nimenomaan lukusymbolien kautta, tulee helpommaksi käsitellä lukuja abstraktisti ja sellaisinaan ilman että ajattelisi koko ajan konkreettisia määriä.
Lukujen kautta voi hahmottaa vaikka että 3 * 5 = 15 ja 15 / 3 = 5 ilman että tarvitsee miettiä konkreettisen kautta koko hommaa läpi. Merkitsemisestä tulee helpompaa verrattuna siihen, että töpöttäisi paperille lukumäärää vastaavan pisteiden rykelmän. On kognitiivisesti kevyempää käsitellä lukuja abstraktisti, ja se mahdollistaa sekä isompien lukujen käsittelyn helposti että kaikenlaista muutakin kuin varsinaista laskemista tai määriin sinänsä kohdistuvia operaatioita.
Joskus aiemmin kirjoitin symmetriasta ja siitä, miten ympyrän luultavasti voisi määritellä myös sen kautta, että sen symmetriaryhmä on kooltaan juuri tietynsuuruinen äärettömyys.
Symmetriaryhmien taustalla on ajatus joukoista ja fuktioista, tavallaan konkeettisista operaatioista, joita jollekin objektille voi suorittaa niin, että se pysyy invarianttina tai jossakin mielessä "samana". Ympyrää voi kääntää periaatteessa portaattomasti, ja jos ajellaan sitä pelkästään kaksiulotteisena objektina, silloin sitä voi pyörittää 360 astetta tai π radiania. Jos sellainen sallitaan, sitä voi tietysti leikellä ja niin pois päin. Ajattelin silloin kuitenkin vain pyörittämistä.
Jos symmetriaa lähestyy kappaleisiin tai muihin objekteihin kohdistuvina konkreettisina operaatioina tai tekoina, tämä valottaa hyvin sitä, miksi joukko-opin ja ryhmäteorian perustason aksiomit ovat juuri sellaisia kuin ovat, mutta pitemmän päälle tällainen on rajoittavaa ja hiukan kömpelöä.
Jos symmetriaa ja ryhmiä ajattelee abstraktimmin, silloin kuution 24 erilaista rotaatiosymmetriaa voi nähdä samana asiana kuin neljän objektin permutaatiot yleisemmin. Symmetriaryhmä on sama kuin se, jossa puhutaan tavoista järjestää mitkä tahansa neljä objektia siinä mielessä, että kaikki mikä on totta yhdestä ryhmästä, on sitä myös toisesta. Kuution rotaatiot voi ymmärtää sen neljän eri avaruslävistäjän järjestyksten vaihdoksina ts. permutaatioina, eli tälle on konkretian tasolla aukikelattavissa oleva syy, vaikka yhteys ei kaiketi olekaan huutavan ilmeinen.
Toinen esimerkki voisi olla se, että on olemassa ääretön määrä eri kokoisia äärettömyyksiä. Yleisesti ottaen äärettömyyteen ei voi soveltaa aritmeettisia operaatioita, koska se ei ole lukumäärä, ja kahden eri äärettömyyden kokoero voi olla mitä tahansa. Jos kuitenkin pitää tarkasti lukua siitä, millä tavalla jokin äärettömyys on rakennettu tai miten siihen on päädytty, voi keskenään samansuuruisilla äärettömyyksillä laskea, ja näin myös tehdään.
Pointti on varmaan se, että abstraktiot rakennetaan jostakin, ja saattaa olla hyvä ymmärtää, miten ja miksi ne ovat juuri sellaisia kuin ovat. Vaikka nyt joukko-opin ja ryhmäteorian perustavat määritelmät tai jokin muu tällainen.
Ongelmia ratkaistaessa on luonnollista, ettei pyörää tarvitse joka kerta keksiä uudestaan, vaan esim. fyysikolla on kokemusta tuhansien fyysiikan ongelmien ratkaisemisesta, joista hän on myös saanut palautetta. Tästä kertyy osaamista tai asiantunemusta ja jopa intuitiota, jota myöhemmin sovelletaan ja käytetään miettimättä kaikkea joka kerta läpi uudestaan.
Mun aiempi nillitys kvanttimekaniikasta ja fyysiikasta liittyi lähinnä siihen, että osa niistä yhtälöistä on ikään kuin valistuneita arvauksia tai matemaattisesti luovia ratkaisuja joihinkin kokeellisen näytön esille heittämiin ongelmiin. Standardimalli on tavallaan "liian hyvä", tai sekä fysiikan että kosmologian standardimallit alkavat olla sellaisessa pisteessä, että kun niitä vähän muokataan, ne saadaan sopimaan yhteen minkä tahansa näytön kanssa.
Jos taas katsoo matematiikkaa, vaikka joukko-oppia ja sen jatkeena ryhmäteoriaa, mun mielestä sekin näyttää selkeästi, että se miten asiat todella ovat tai loogisen välttämättömyyden takia tietyistä lähtöoletuksista käsin jäsentyvät, ei mitenkään välttämättä ole "eleganttia" tai "kaunista" siinä mielessä kuin fysiikassa usein teorioilta toivotaan.
Äärelliset yksinkertaiset ryhmät ovat eräänlainen vastaus siihen, kuinka monella erilaisella tavalla mikään voi ylipäänsä olla symmetristä, ja sieltä voi yhtenä erikoisuutena nostaa esille vaikka Monster-ryhmän ja sen odottamattoman yhteyden modulaarimuotoihin:
Wiki: Monstrous moonshineTämä koko viesti ei tietenkään ole hyvin perusteltu tai selkeä esitys, mutta viimeksi mainitun tyyppiset jutut nostavat minussa joskus fiiliksen, että maailma ja maailmankaikkeus ovat todella, todella kummallisia, ja että ehkä fysiikassa yhtenä tekijänä on joku liikkuva rajapinta siinä, mitä ei täysin edes ymmärretä mutta pystytään kuitenkin laskemaan niin, että siitä on meille teknologista ja muuta käytännön hyötyä. Teoriat ja metodit sun muut siis kehittyvät vain jollekin tällaiselle rajapinnalle.
Se ei mun mielestä mitenkään himmennä fysiikan saavutuksia — tai muiden luonnontieteiden — mutta se tuottaa tietynlaista nöyryyttä tai ehkä luo vähemmän kaikkivoipaista kuvaa tieteistä ylipäätään, silloinkin kun ne ovat kaikkein vahvimmillaan ja parhaimmillaan.
